Проводниковые материалы Электропроводность полупроводников

Примеры и задачи

Справочными данными по удельным сопротивлениям, энергиям Ферми и длинам свободного пробега электронов в чистых металлах, можно рассчитать удельные сопротивления сплавов, даже содержащих несколько компонентов. В качестве примера, рассмотрим следующую задачу.

Удельное сопротивление образца чистой отожженной меди при температуре 300 0K равно 1,56 .10 -8 Ом .м. При добавлении к меди одного атомного процента никеля удельное сопротивление сплава возрастает на 1,2 .10 -8 Ом .м, а при добавлении одного атомного процента серебра на 0,14 .10 -8 Ом .м. Вычислите удельное сопротивление сплава меди, содержащего 0,2 атомных процентов никеля и 0,4 атомных процентов серебра, если при температуре 0 0C энергия Ферми меди 7 эВ, длина свободного пробега электрона 420 ангстрем, а число свободных электронов 8,5 .10 28 м -3.

Решение

1. Определяем удельное сопротивление меди при температуре 0 0C.

VF = (2 . EF / m)0,5,

где масса электрона m = 9,107 .10 -31 кг.

VF = [(2 . 7 . 1,6 .10 -19) / 9,107 .10 -31]0,5=1,56 .10 6 м/с

o = [(m . VF)/(N .e 2 . )],

где заряд электрона e = 1,601 .10 -19 К

o = 9,107 .10-31 . 1.56 .10 6/(8.5 .10 28 . 1,601 2 .10 -38 . 420 .10 -10) =1,55 .10 -8 Ом .м.

2. Определяем температурный коэффициент сопротивления  чистой меди.

273 = i + . 273 и 300 = i + . 300, тогда 300 - 273 = 27 . 

= [(1,56 - 1,55).10 -8]/ 27 = 3,7 .10 -12 Ом .м/ 0K

3. Определяем составляющую удельного сопротивления меди, обусловленную структурой кристаллической решетки, при температуре 300 0K.

i = - . T

i = 1,56 .10 -8 - 3,7 .10 -12 . 300 = 1,45 .10 -8 Ом .м

Определяем составляющую удельного сопротивления чистой меди, обусловленную тепловыми колебаниями атомов кристаллической решетки при температуре 300 0K.

t = . . T

t = 3,7 .10 -12 . 300 = 0,11 .10 -8 Ом .м

Определяем время релаксации, обусловленное рассеянием электронов на атомах кристаллической решетки меди.

i = m /(N . e 2 . i)

i = 9,107 .10 -31/ 8,5 .10 28 . 1,601 2 .10 -38 .1,45 .10 -8 = 2,88 .10 -14 с

6. Определяем время релаксации, обусловленное рассеянием электронов на тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки меди.

t = m /(N . e 2 . t)

t = 9,107 .10 -31/ 8,5 .10 28 . 0,11 .10 -8 .1,601 2 .10 -38 = 3,79 .10 -13 с

7. Определяем удельное сопротивление меди, содержащей 1% никеля.

Cu +1%Ni = + Ni

Cu +1%Ni =1,56 .10 -8 + 1,2 .10 -8 = 2,76 .10 -8 Ом .м

8. Определяем время релаксации электронов в меди, содержащей 1% никеля.

Cu+1%Ni = m /(Cu + 1%Ni . N . e 2)

Cu+1%Ni = 9,107 .10 -31/(2,76 .10 -8 . 8,5 .10 28 . 1,601 2 .10 -38) = 1,41 .10 -14 с

Определяем время релаксации на примесных атомах никеля.

1/Cu + 1%Ni = (1/Cu) + (1/t) + (1/Ni)

1/Ni = [1/(1,41 .10 -14)] - [1/(2,88 .10 -14)] - [1/(3,79 .10 -13)] =3,357 .10 13 с-1

Ni = 1/3,357 .10 13 = 2,98 .10 -14 с

Определяем удельное сопротивление меди, содержащей 1% серебра.

Cu+1%Ag = Cu + Ag

Cu+1%Ag = 1.56 .10 -8 + 0,14 .10 -8 = 1,7 .10 -8 Ом .м

11. Определяем время релаксации электронов в меди, содержащей 1% серебра.

Cu+1%Ag = m /(Cu + 1%Ag . N . e 2)

Cu+1%Ag = 9,107 .10 -31/(1,7 .10 -8 . 8,5 .10 28 . 1,601 2 .10 -38) = 2,45 .10 -14 с

Определяем время релаксации на примесных атомах серебра.

1/Cu + 1%Ag = (1/Cu) + (1/t) + (1/Ag)

1/Ag = [1/(2,45 .10 -14)] - [1/(2,88 .10 -14)] - [1/(3,79 .10 -13)] = 0,347 .10 13 c-1

Ag = 1/(0,347 .10 13) = 2,88 .10 -13 с

13. Полагая, что время релаксации на атомах примеси обратно пропорционально их концентрациям, последовательно определяем времена релаксации электронов в меди, содержащей 0,2% никеля и в меди, содержащей 0,4% серебра.

Cu + 0,2%Ni = (2,98 .10 -14)/ 0,2 = 14,9 .10 -14 с

Cu + 0,4%Ag = (2,88 .10 -13)/ 0,4 = 7,2 .10 -13 с

14. Определяем время релаксации электронов в сплаве Cu+0,2%Ni+ 0,4%Ag.

1/= (1/Cu) + (1/t) + (1/Cu+0,2%Ni)+(1/Cu+0,4%Ag)

1/= [1/(2,88 .10 -14)] + [1/(3,79 .10 -13)] + [1/(14,9. .10 -14)] + [1/(7,2 .10 -14)]

= 45,42.1012 с-1

Cu+0,2Ni+0,4Ag = 1/(45,42 .10 12) = 2,2 .10 -14 с

Определяем удельное сопротивление сплава меди, содержащего 0,2% никеля и 0,4% серебра.

спл. = m /(N . e 2 . )

= 9,107 .10 -31/(8,5 .10 28 . 1,601 2 .10 -38 . 2,2 .10 -14) = 1,89 .10 -8 Ом .м

Последующие задачи решите самостоятельно.

Задача 1. Медный провод длиной 1 метр имеет поперечное сечение 0,1 мм2. Сопротивление провода при комнатной температуре равно 0,172 Ом. Найдите удельное сопротивление меди.

Ответ. 1.72 .10 -8 Ом .м

Задача 2. Удельное сопротивление серебряного провода при комнатной температуре равно 1,54 .10 -8 Ом .м. Вычислите среднюю скорость дрейфа электронов при напряженности электрического поля вдоль провода 1 В/см, полагая, что в 1 м 3 серебра имеется 5,8 .10 28 электронов проводимости. Вычислите также подвижность и время релаксации электронов.

Ответ. Время релаксации - 4 .10 -14 с, подвижность электронов - 7 .10 -3 м 2/(В .с), скорость дрейфа в поле - 0,7 м/с.

Задача 3. Полагая, что энергия Ферми для серебра равна 5,5 эВ, найдите скорость электрона с энергией Ферми. Сравните полученный результат со скоростью дрейфа электронов, которая определялась в предыдущей задаче. Чему равна средняя длина свободного пробега электронов, рассеивающихся в серебряном проводе. ( Недостающие данные возьмите в условиях предыдущей задачи.)

Ответ. Скорость Ферми - 1,4 .10 6 м/с, длина свободного пробега электронов 557 ангстрем.

Задача 4. Удельное сопротивление медного провода при 0 0C o =1,64 . 10 -8 Ом .м, удельное сопротивление того же провода при 300 0K = 1,8 .10 -8 Ом .м. Найдите удельное сопротивление провода при 700 0C, а также процентное изменение удельного сопротивления при повышении температуры от комнатной до 700 0C. Найдите также составляющую удельного сопротивления, обусловленную дефектами структуры.

Ответ. Удельное сопротивление провода при температуре 700 0C - 5,8 .10 -8 Ом .м, составляющая удельного сопротивления, обусловленная дефектами структуры - 0,02 .10 -8 Ом .м, процентное изменение удельного сопротивления-222%.

Задача 5. Известно, что нихром (сплав никеля, железа и хрома) используется для обмоток электрических печей. Удельное сопротивление нихрома при температуре T=300 0K равно 1,0 .10 -6 Ом .м. При нагревании до температуры T = 973 0K удельное сопротивление возрастает на 7%. Полагая, что правило Маттисена справедливо для нихрома, найдите составляющую удельного сопротивления, обусловленную рассеянием электронов на примесях. Сравните полученные результаты с ответом предыдущей задачи и объясните различное поведение нихрома и меди при нагревании.

Ответ. Составляющая удельного сопротивления, обусловленная рассеянием электронов на примесных атомах 0,97 .10 -6 Ом .м.


Магнитные цепи