Проводниковые материалы Электропроводность полупроводников

Рассмотрим алгоритм решения на примере цепи изображенной на рисунке 1.

Если по условию задачи внутренним сопротивлением источников (r01, r02 т. д.) пренебречь нельзя, и они заданы, то их необходимо ввести в расчетную схему, включая последовательно с соответствующим источником.

По признакам, данным в определении независимого контура, можно выделить следующие независимые контуры: a-b-c-g-a (контур I), c-d-e-g-c (контур II), a-g-e-f-a (контур III).

Рис. 1. Расчетная схема

2. Направление обхода указывается стрелкой снаружи схемы. Направление обхода по контурам выбрали совпадающим с направлением движения часовой стрелки.

3. Направления контурных токов в независимых контурах выбрали такими же, как и направления обхода контуров, по часовой стрелке.

По второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура составляем уравнения (ЭДС считаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контура; падение напряжения IКiRi считается положительным, если направление контурного тока совпадает с направлением обхода контура). Обратите внимание, что в смежных ветвях протекают два контурных тока, причем они направлены в разные стороны:

Контур I a-b-c-g-a: E1=IК1R1+ IК1R6+ IК1R5–IК2R6– IК3R5;

Контур II c-d-e-g-c: – E2 +E3=IК2R2+ IК2R3+ IК2R6–IК3R3– IК1R6;

Контур III a-g-e-f-a: E3 +E4=IК3R3+ IК3R4+ IК3R5–IК1R5– IК2R3.

Сгруппировав слагаемые, получим систему уравнений:

E1=IК1 (R1+R6+ R5)–IК2R6– IК3R5; (1)

– E2 +E3=IК2 (R2+ R3+ R6)–IК3R3– IК1R6; (2)

E3 +E4=IК3 (R3+ R4+R5)–IК1R5– IК2R3. (3)

Полученная система уравнений может быть решена любым известным методом. Не рекомендуется вести решение подстановкой, так как при этом ошибки допускаются чаще, чем при решении другими способами.

Для удобства записи введем следующие обозначения:

a1,a2,a3 – коэффициенты при контурном токе IК1;

b1,b2,b3 – коэффициенты при контурном токе IК2;

c1,c2,c3 – коэффициенты при контурном токе IК3;

d1,d2,d3 – свободные члены в правой части системы уравнений.

Тогда систему линейных уравнений можно переписать следующим образом:

При ручном расчете решение полученной системы уравнений можно найти по формулам Крамера:

,

 где

Для вычисления определителя третьего порядка удобно приписать к нему справа два первых столбца, тогда произведения элементов, вычеркнутых в таблице сплошной линией, будут складываться, а произведения элементов, вычеркнутых пунктирной линией, вычитаться, например для вычисления Δ:

,

Δ1, Δ2, Δ3 вычисляются аналогично.

При составлении таблиц элементов и вычислении определителей следите за знаками элементов и знаками их произведений.

При расчете на ЭВМ составляется матрица коэффициентов:

.

Если в исходных уравнениях некоторые неизвестные контурные токи отсутствуют, в матрицу коэффициентов проставляются соответствующие нули.

После вычисления контурных токов проведите первую проверку правильности расчета. Исходные уравнения должны превращаться в тождество при подстановке в них полученных значений контурных токов.

Рис. 2. Расчетная схема после расчета контурных токов

Значения контурных токов, полученные в результате расчета, могут быть положительными и отрицательными. Если контурный ток получился отрицательным, то меняем его направление на схеме на противоположное. При этом контурный ток, протекающий через резисторы, также меняет направление (рис. 2). Допустим контурные токи Ik1, Ik2 положительные, а контурный ток Ik3 – отрицательный. На схеме (рис. 2) направления контурных токов Ik1, Ik2 оставляем прежними, а направление контурного тока Ik3 меняем на противоположное. Следовательно, токи в наружных ветвях цепи (в нашем примере на рис. 2 ветви E1-R1, E2-R2, E4-R4) равны по величине и направлению соответствующим контурным токам. На схеме около каждого резистора укажите действительное направление тока в нем. Номер тока указывается в соответствии с номером резистора.

В смежных ветвях, принадлежащих одновременно двум контурам (в нашем примере ветви E3-R3, R5, R6), протекают одновременно по два контурных тока. Поэтому действительные токи в ветвях определяют как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этим ветвям (см. рис. 2). Если контурные токи в резисторе направлены в противоположные стороны, то для нахождения действительных значений токов в этих ветвях необходимо из большего контурного тока, протекающего в данной ветви, вычесть меньший контурный ток, протекающий в этой же ветви, и принять направление большего контурного тока. Если контурные токи направлены в одну и ту же сторону, то для определения тока в ветви их необходимо сложить и направление полученного тока будет совпадать с направлением этих расчетных контурных токов.

Допустим, что , причем Ik1, Ik2 - положительные, а Ik3 – отрицательный, тогда токи в ветвях будут равны:

I1 =Ik1; I2 =Ik2;  I4 = Ik3; I3 =Ik2 + Ik3; I5 =Ik1 + Ik3; I6 =Ik1 - Ik2.

На схеме указываем направления токов в ветвях:

Рис. 3. Расчетная схема после расчета токов в ветвях

Правильность расчета проверяют, составляя баланс мощностей. Согласно закону сохранения энергии, мощность отдаваемая источниками, должна быть равна мощности, поглощаемой приемниками, т. е.:

 или

Перед произведением EI знак «+» ставится, если направление тока совпадает с направлением ЭДС. Знак «-», если направление тока не совпадает с направлением ЭДС.

Если равенство выполняется, то расчет правильный. При правильно рассчитанных токах расхождение мощностей не должно превышать 2%.

Потенциалы всех точек внешнего контура, в которых соединяются два любых элемента, рассчитываются относительно точки, потенциал которой принят равным нулю.

Рис. 4. Внешний контур расчетной схемы

Пусть такой точкой в нашем примере будет точка а. Допустим, что в результате расчета были найдены токи и их направления, указанные на рис. 4. При расчете потенциалов следует иметь в виду, что в пассивном элементе (резисторе) стрелка тока указывает направление уменьшения потенциала. Поэтому при переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжения (IiRi) на резисторе, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал повышается на величину падения напряжения (IiRi) на резисторе.

При переходе через источник энергии с ЭДС Еi потенциал скачком увеличивается на величину ЭДС источника Еi, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура (источник идеальный и не обладает внутренним сопротивлением). Стрелка ЭДС указывает направление увеличения потенциала. Если направление ЭДС не совпадает с направлением  обхода, то потенциал скачком уменьшается на величину ЭДС.

В нашем случае (рис. 4) примем:

jа=0;

jb=jа + Е1 – направление ЭДС Е1 совпадает с направлением обхода контура;

jc=jb – I1R1 – направление тока I1 совпадает с направлением обхода контура;

jd=jc – Е2 – направление ЭДС Е2 не совпадает с направлением обхода контура;

je=jd – I2R2 – направление тока I1 совпадает с направлением обхода контура;

jf=je + Е4 – направление ЭДС Е1 совпадает с направлением обхода контура;

ja=jf + I4R4 – направление тока I4 не совпадает с направлением обхода контура.

Потенциальная диаграмма строится в прямоугольной системе координат, в которой по горизонтальной оси откладываются значения сопротивлений между i точкой контура и точкой, потенциал которой принят равным нулю. По вертикальной оси откладываются значения потенциалов соответствующих точек. Оцифровка осей должна быть равномерной, а оси должны иметь наименование с указанием размерностей.

Рис. 5. Потенциальная диаграмма внешнего контура расчетной цепи

Так как jа=0, точку а расположим в начале координат. Поскольку сопротивление между точками а и b равно нулю, то потенциал jа возрастает скачком (рис. 5). Координаты точки с определяются величиной рассчитанного потенциала jс и сопротивлением участка a-b-c, которое равно R1 (см. рис. 4).

От точки с до точки d потенциал уменьшается скачком, т. к. сопротивление участка a-b-с-d остается равным R1 (см. рис. 4).

Координаты точки е определяются величиной потенциала jе и сопротивлением участка a-b-с-d-е, которое, как видно из рисунка 4, равно R1+R2.

В точке f потенциал так же возрастает скачком, т. к. сопротивление участка a-b-с-d-е-f остается равным R1+R2 (см. рис. 4).

Завершается построение диаграммы точкой а, координаты которой определяются теперь величиной потенциала ja и сопротивлением контура a-b-с-d-е-f-а, которое равно R1+R2+R4 (рис. 4). При построении диаграммы необходимо указать градуировку (оцифровку) каждой оси.


Магнитные цепи