Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

.             m = х • а + у • b.         (2)

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем

т =  х • а  = х • а  + 0 • b.

Тем самым вектор т представлен в виде (2).

Если же вектор т не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис. 25), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем

m =  OE> +  OF>.

Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что OE>= ха,  OF> = yb, откуда и вытекает равенство (2).

Докажем единственность такого представления. Пусть

т = x1a  + у1b   и   т = x2a  + у2b.

Тогда (x1 — x2)а + (у1 — у2)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x1 = x2 и у1 = у2. Единственность доказана.

Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть e1 и e2 — некоторый базис и а — произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что

а = хe1 + уe2.

Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).


Возрастание и убывание функции