Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Линейные операторы.

Определение 1. Линейным оператором в линейном n- мерном пространстве Rn называется всякое отображение A: Rn Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыRn пространства Rn в себя, обладающее свойствами:

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы

Пусть А - линейный оператор в Rn и В = {e1, e2,..., еn} - некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Aek, k = 1, 2, ..., n по базису B:

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы

Тогда матрица

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы

называется матрицей оператора А в базисе В, причем

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы

(Матрица состоит из вектор-столбцов AeRk, k = 1, 2, ..., n.)

Определение 2. Пусть число Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыи вектор х Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыRRn, х Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы0, таковы, что Ах = Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторых. Тогда число Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыназывается собственным числом линейного оператора А, а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы.

В линейном n-мерном пространстве Rn это векторное равенство эквивалентно матричному (А - Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыЕ)Х = 0, X Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы0.

Отсюда следует, что число Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыесть собственное число оператора A в том и только в том случае, когда det (А - Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыЕ) = 0, т. е. Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыесть корень многочлена

(Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы) = det(А - Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыЕ),

называемого характеристическим многочленом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы, есть некоторое ненулевое решение соответствующей однородной системы линейных алгебраических уравнений.


Возрастание и убывание функции