Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Задача о касательной.

Пусть дана функция у = f(x), график которой изображен на рис. 111, и точка А(х0, у0) на этом графике. Возьмем на кривой справа от точки A(х0, у0) точку В и проведем через эти точки прямую, которую назовем правой секущей.

Рис. 111

Угловой коэффициент этой секущей найдем из треуголь­ника ABC:

Если точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, то секущая поворачивается вокруг точки А,

Предположим, что она приближается к некоторому пре­дельному положению.

Определение. Предельное положение правой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (х0, у0), называется правой касательной в точке (х0, у0).

Из определения правой касательной следует, что ее угло­вой коэффициент kкас. пр равен

Возьмем теперь на графике функции y = f(x) точку В1 (x1, y1) слева от точки А (х0, у0) (рис. 112) и проведем через точки А и В, секущую, которую назовем левой секущей. Угловой коэффициент левой секущей есть

 причем Dx < 0.

Определение. Предельное положение левой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой прибли­жается к точке (x0, у0), называется левой касательной в точке (х0, y0).

По определению левой касательной ее угловой коэффи­циент

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение .Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши(без док-ва). Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида . Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро. Особые точки, особые решения. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГО ПОРЯДКА Дифференциальные уравнения го порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГО ПОРЯДКА Линейные дифференциальные уравнения го порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения го порядка. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения го порядка. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения го порядка. Принцип суперпозиции решений. Метод вариации постоянных. Линейное однородное дифференциальное уравнение го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. Метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения го порядка с постоянными коэффициентами.

Возрастание и убывание функции