Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Точка перегиба.

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 18). Такие точки называют точками перегиба данной кривой.

Определение 1.  Точка  кривой  называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны карательной (проведенной к кривой  в точке ) на ее другую сторону.

Теорема 1. Если в точке c вторая производная функции  непрерывна и отлична от нуля, то  не является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство. Если , то в силу непрерывности функции в точке с неравенство  выполняется в некоторой окрестности точки , а тогда в силу теоремы 1 п.5 в этой окрестности график функции  обращен выпуклостью вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касательной, проведенной в точке , и не имеет перегиба в этой точке. Случай  рассматривается аналогично.

Из теоремы 1 вытекает необходимое условие, для того чтобы график функции имел перегиб в точке :

Следствие. Для того чтобы график функции  имел перегиб в точке , необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке с, либо чтобы с была для  точкой разрыва, либо, наконец, чтобы вторая производная от  не существовала в точке .

Достаточное условие для точки перегиба формулируется следующим образом:

Теорема 2. Пусть функция  имеет вторую производную в проколотой окрестности радиуса  точки  и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку  вторая производная функции  меняет знак, то  является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство. Предположим, что слева от точки c имеем: , а справа от с имеем: . Тогда на от­резке  график функции  обращен выпуклостью вверх и потому лежит ниже касательной, проведенной в точке . На отрезке же  этот график обращен выпуклостью вниз и потому лежит выше той же касательной. Значит, в точке  кривая переходит с одной стороны касательной на другую, т. е.  является точкой перегиба.


Полупроводники

ТОЭ
Готика
Компьютерная сеть
Практикум