Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Инвариантность формы дифференциала

Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = g(t), то есть у является сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y'tdt. По правилу дифференцирования сложной функции имеем y't = y'xx't. Отсюда dy = y'xx'tdt = y'xdx = f'(x)dx, так как x'tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy = f'(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала

Первообразная функция, неопределенный интеграл и его свойства

Задачей интегрального исчисления является восстановление функции по её производной.

Определение: Функция F(x)  называется первообразной для функции f(x)на промежутке <a,b>, если

\displaystyle \left(F(x)\right)'=f(x)или

\displaystyle dF(x)=f(x)dx

Теорема: Если функция f(x)непрерывна на интервале <a,b>, то у нее всегда существует первообразная.

Теорема: Все первообразные для функции f(x)отличаются друг от друга лишь на константу.

Доказательство: Пусть F_1(x)и F_2(x)первообразные для функции f(x), т.е. \left(F_1(x)\right)'=f(x)и \left(F_2(x)\right)'=f(x)

\displaystyle \varphi(x)= F_1(x)-F_2(x)

\displaystyle \varphi'(x)= \left(F_1(x)\right)'-\left(F_2(x)\right)'=f(x)-f(x)=0

Так как \varphi'(x)= 0, то  \varphi(x)= Const. Теорема доказана.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x)называется выражение вида F(x)+C, являющемся общим видом всех первообразных для f(x)

Обозначение: \int{f(x)dx}=F(x)+C

Свойства неопределенного интеграла

1. \displaystyle \left(\int{f(x)dx}\right)'=F(x)+C

2. \displaystyle d\int{f(x)dx}=f(x)dx

3. \displaystyle \int{dF(x)}=F(x)+C

4. однородность \displaystyle \int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}, где k=const\ne 0

5. аддитивность \displaystyle \int{\left[f(x)\pm g(x)\right]dx}=\int{f(x)dx}\pm\int{g(x)dx}

Нахождение неопределенного интеграла методом разложения

Пусть . Тогда на основании свойства неопределенного интеграла имеем

,

причем слагаемые  и  стараются подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно.


Возрастание и убывание функции