Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Несобственные интегралы и вычисление их

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке до членов второго порядка включительно.

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f(x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.

В противном случае интегралы расходятся.

Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

ДИСЦИПЛИНА "Уравнения математической физики" Линейные уравнения второго порядка, их характеристики. Классификация уравнений, канонический вид уравнений. Понятие корректности задачи. Корректные постановки задач для гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. Формула Даламбера решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения, корректность задачи Коши. Вывод уравнения диффузии. Решение задач методом Фурье для одномерного уравнения диффузии. Принцип максимума для уравнения диффузии. Единственность решения первой краевой задачи. Закон сохранения энергии для одномерного гиперболического уравнения. Единственность решения смешанной задачи. Решение краевых задач методом Фурье для гиперболического уравнения. Уравнение Лапласа в декартовых и цилиндрических координатах. Принцип максимума для гармонических функций. Единственность и непрерывная зависимость решения задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле для круга интеграл Пуассона. Теорема о среднем значении для гармонических функций. Ортогональные системы функций. Обобщённые ряды Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Понятие полноты и замкнутости ортогональной системы функций. Тригонометрическая система функций и тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (без док-ва). Ряды Фурье чётных и нечётных функций. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.(Возможно изложение в курсе математического анализа) Задача Штурма-Лиувилля о собственных значениях. Свойства собственных значений и собственных функций( простота спектра, его вещественность, неотрицательность, счётность, ортогональность системы собственных функций, полнота, формулировка теоремы В.А. Стеклова о разложении в ряд Фурье по собственным функциям) Уравнение Бесселя. Стационарная диффузия в полубесконечной трубке. Первая и вторая краевые задачи. Интегральная формула Фурье. Преобразование Фурье и его свойства( линейность, преобразование Фурье от производной). Решение задачи Коши для уравнения диффузии методом преобразования Фурье.

Возрастание и убывание функции