Термех | |||
Лаба | |||
Чертежи | |||
Электроника | |||
Ряды
Понятие числового ряда. Сходимость ряда.
В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.
Определение 1. Пусть задана последовательность чисел
а1, а2, а3, ..., аn, ... (1.1)
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
Выражение вида
(1.2)
называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... .
Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность
есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).
Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.
(1.3)
Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)
Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... , (1.4)
Rn - остаток ряда.
Определение 3. Ряд
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.
Если ряд сходится, то
называется его суммой.
. (1.5)
Если
, то
.
Если ряд
- функциональный, то есть un = fn(x), то для каждого фиксированного аргумента х числовой ряд f1(x0) + f2(x0) + f3(x0) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости.
|