Ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда.

В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел

 а1, а2, а3, ..., аn, ... (1.1)

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Выражение вида

  (1.2)

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... .

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность  есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

 (1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... , (1.4)

Rn - остаток ряда.

Определение 3. Ряд  называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм  сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то  называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Если ряд  - функциональный, то есть un = fn(x), то для каждого фиксированного аргумента х числовой ряд f1(x0) + f2(x0) + f3(x0) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости.