Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.

Если un = fn(x) (n = 1,2,...) и функциональный ряд  сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что он сходится на этом множестве, а функция S = S(x), определенная для каждого фиксированного значения из этого множества, называется суммой этого ряда на данном множестве

.

Пусть Rn = S - Sn, тогда Rn - остаток ряда и представляет собой погрешность, которая получается, если в качестве суммы ряда взять Sn .

.

Пример. Вычислить частные производные функции 

Тогда понятно, почему первой и основной задачей теории рядов будет исследование сходимости ряда.

Теорема 1. Сходимость ряда не нарушается, если все его члены умножать на одно и то же число, отличное от нуля

, где k не является константой.

Доказательство:

 Так как , то имеем, что.

Под суммой (разностью) двух рядов

,

 будем понимать соответственно ряд вида

.

ЛИТЕРАТУРА 1. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) - М.: изд. Аст: Астрель, 2003. 2. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007). 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006). 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007). 5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005). 6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001). 7. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия "Классический университетский учебник"). 8. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001. 9. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М., Наука, 1993. Владимиров В.

Возрастание и убывание функции