Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции .

Ряды с положительными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Теорема 1. Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает.

Доказательство. Пусть дан положительный числовой ряд

Найти повторные пределы функции при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

 , где  . (А)

Рассматривается n-ная частичная сумма

, тогда

,

это значит, что последовательность частичных сумм монотонно возрастает.

Рассматривается основная в теории положительных рядов теорема.

Теорема 2. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство. Пусть дан положительный ряд

 , где  . (А)

1) Необходимость. Пусть ряд (А) сходится, тогда .

Значит, данная последовательность частичных сумм ограничена сверху.

2) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм Sn ограничена сверху, значит, на основании теоремы Вейерштрасса, такая последовательность имеет конечный предел. Отсюда ряд (А) сходится.

Все признаки сходимости (и расходимости), в конечном счете, основаны на этой простой теореме. Но непосредственное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда. В качестве примера применения данной теоремы могут служить ряды Дирихле.


Возрастание и убывание функции