Вычислить определенный интеграл

Область сходимости степенного ряда.

Теорема. (о структуре области сходимости степенного ряда)

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R= (если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат

|a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+…       (25)

Применим к ряду (25) признак Даламбера

Возможны три случая:

1. Если  или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (25) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (24), причём абсолютно.

2. Если , то ряд (25) расходится. В этом случае , то есть при достаточно больших n |un+1|>|un|, значит ≠0 и ≠0, следовательно, ряд (24) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

6. Комплексный анализ

1. Арифметические операции над комплексными числами.

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

Коммутативность сложения: z 1  +  z 2  =  z 2  +  z 1 для любых     .

Ассоциативность сложения:

( z 1  +  z 2) +  z 3  =  z 1  + ( z 2  +  z 3 ) для любых .

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z  + 0 =  z для любого z .

Для любых двух чисел z 1 и z 2 существует такое число z , что z 1  +  z  =  z 2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z  =  z 2  –  z 1.

Коммутативность умножения: z 1 z 2  =  z 2 z 1 для любых  .

Ассоциативность умножения: ( z 1 z 2 ) z 3  =  z 1 ( z 2 z 3 ) для любых  .

Дистрибутивность сложения относительно умножения:

z 1 ( z 2  +  z 3 ) =  z 1 z 2  +  z 1 z 3 для любых   .

Для любого комплексного числа z: z  · 1 =  z .

Для любых двух чисел и существует такое число z , что  Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.


Вычислить предел