Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Область сходимости степенного ряда.

Теорема. (о структуре области сходимости степенного ряда)

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R= (если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат

|a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+…       (25)

Применим к ряду (25) признак Даламбера

Возможны три случая:

1. Если  или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (25) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (24), причём абсолютно.

2. Если , то ряд (25) расходится. В этом случае , то есть при достаточно больших n |un+1|>|un|, значит ≠0 и ≠0, следовательно, ряд (24) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

6. Комплексный анализ

1. Арифметические операции над комплексными числами.

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

Коммутативность сложения: z 1  +  z 2  =  z 2  +  z 1 для любых     .

Ассоциативность сложения:

( z 1  +  z 2) +  z 3  =  z 1  + ( z 2  +  z 3 ) для любых .

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z  + 0 =  z для любого z .

Для любых двух чисел z 1 и z 2 существует такое число z , что z 1  +  z  =  z 2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z  =  z 2  –  z 1.

Коммутативность умножения: z 1 z 2  =  z 2 z 1 для любых  .

Ассоциативность умножения: ( z 1 z 2 ) z 3  =  z 1 ( z 2 z 3 ) для любых  .

Дистрибутивность сложения относительно умножения:

z 1 ( z 2  +  z 3 ) =  z 1 z 2  +  z 1 z 3 для любых   .

Для любого комплексного числа z: z  · 1 =  z .

Для любых двух чисел и существует такое число z , что  Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.


Полупроводники

ТОЭ
Готика
Компьютерная сеть
Практикум