Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта. Закон сохранения импульса Шар массой m=10 кг, движущийся со скоростью v1=4 м/с, сталкивается с шаром массой m=4 кг, скорость v2 которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.

Рис. 7. Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости:

.

Формулапозволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора  не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда

. ( 19 )

Вектор нормали en ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки

и ортогональности:

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:

.

Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению

. ( 20 )

Аналогично вычисляем wn:

. ( 21)

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием

Рис. 8 Радиус кривизны.

,

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.

Рис. 9.


Полупроводники